磁悬浮系统线性二次型最优控制的研究

　　1 前言

　　近年来，磁悬浮技术得到了迅速发展，并得到越来越广泛的应用。磁悬浮由于其无接触的特点，避免了物体之间的摩擦和磨损，能延长设备的使用寿命，改善设备的运行条件，因而在交通、冶金、机械、电器、材料等各个方面有着广阔的应用前景。目前国外在磁悬浮方面的研究工作主要集中在磁悬浮列车方面，进展最快，己从实验研究阶段转向试验运行阶段。

　　以线性二次型性能指标为基础的最优控制问题是二十世纪50 年代末期发展起来的一种设计控制系统的方法, 它把所得到的最有反馈控制与非线性的开环最优控制结合起来，可减少开环控制的误差，达到更精确的控制目的。

　　本文是以固高科技磁悬浮教学实验设备为模型基础，结合线性二次型最优控制的一般理论，实现磁悬浮系统的平稳控制，并通过与经典PID控制比较，理论分析及MATLAB仿真，得到更为满意的结果。

　　2 磁悬浮系统的数学模型

　　磁悬浮球控制系统是研究磁悬浮技术很典型的平台，它是一个典型的吸浮式悬浮系统。

　　它的系统结构图如图1所示，主要由LED光源、电磁铁、光电位置传感器、电源、放大及补偿装置、数据采集卡和控制对象(钢球)等元件组成

　　图1磁悬浮实验系统结构图

　　2.1系统的工作原理

　　电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力F，只要控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力mg相平衡,钢球就可以悬浮在空中而处于平衡状态。为了得到一个稳定的平衡系统，必须实现闭环控制，使整个系统稳定具有一定的抗干扰能力。本系统中采用光源和光电位置传感器组成的无接触测量装置检测钢球与电磁铁之间的距离x的变化。电磁铁中控制电流的大小作为磁悬浮控制对象的输入量。

　　2.2 系统的数学模型

　　实际系统的模型参数如下：

　　由于输入量直接是电磁铁的控制电流，没有考虑感抗对系统的影响，而从感性元件储能的角度加以分析建模。且假设功率放大器的输出电流与输入电压之间呈严格的线性关系且无延迟。

系统可用下列方程来描述： 拉普拉斯变换后得： 由边界方程 代入得系统的开环传递函数：

　　定义系统对象的输入量为功率放大器的输入电压也即控制电压，系统对象输出量为所反映出来的输出电压为(传感器后处理电路输出电压)，则该系统控制对象的模型可写为：

由上所得，取系统状态变量分别 ，系统的状态方程如下：

　　将以上参数带入可得到

　　由以上可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量的维数，所以磁悬浮实验系统既是可控的又是可观的，因此可以对系统进行控制器设计，使系统稳定。

　　3 线性二次型最优控制方法

　　3.1 线性二次型最优控制器的结构

　　其结构框图如图2所示

　　图2线性二次型最优控制器的结构图

　　3.2 线性二次型最优控制方法

　　设线性时不变系统的状态空间方程为：

其中，是n维的状态向量，是m维的控制向量，是维和维矩阵向量。设计状态调节器，线性二次型最优控制的目的是设计，使线性二次型的性能指标 最小,其中，和分别是对状态变量和输入向量的加权矩阵，对最优控制而言，为半正定的对称常数矩阵，为半正定的对称常数矩阵，F为正定的对称矩阵。构造哈密顿函数

　　求解Riccati矩阵微分方程：

得到最优控制： 式中 为状态反馈系数矩阵，它可用下面式子来描述：

　　4 系统的MATLAB仿真

　　由图2中得系统模型为：

现假设系统的最优控制律为 ，求反馈增益矩阵 ,使得性能指标： 选取，在Matlab环境下编写程序进行线性二次型最优控制器设计仿真,得最优控制器的反馈增益矩阵K的值为：K =[10.3998 1.0042]，冲击响应仿真结果如图3所示：

　　图3 冲击响应仿真曲线(一)

选取，得最优控制器的反馈增益矩阵K 的值为：K =[ 32.0173 1.0127]，冲击响应仿真结果如图4所示：

　　图4 冲击响应仿真曲线(二)

选取，得最优控制器的反馈增益矩阵K 的值为：K =[ 100.3929 1.0394]，冲击响应仿真结果如图5所示：

　　图5 冲击响应仿真曲线(三)

　　比较仿真结果发现，图5冲击响应需要的稳定时间较短，并且在稳定时间内系统的幅值变化较小，较好的满足了系统的平稳控制，由此可见本文最优控制方法很好的达到了系统的要求。

　　当系统采用PID调节器的时候，系统结构如图6所示：

　　图6 PID系统结构图

　　经多次设置PID参数进行仿真比较，当PID参数时，系统控制性能得到最佳结果，仿真结果如图7所示：

　　图7 冲击响应仿真曲线(四)

　　采用PID调节器的控制结果和最优控制方法相比，虽然能达到控制目的，但控制指标效果不理想，且多次试验参数时间较长，采用最优控制通过最优化算出反馈增益，减少时间，达到比较满意的控制指标。

　　结束语

　　本文结合线性二次型最优控制的一般理论，实现磁悬浮系统的平稳控制，并通过理论分析及MATLAB仿真，且与经典PID控制比较仿真结果发现，最优控制方法需要的稳定时间较短，并且在稳定时间内系统的幅值变化较小，较好的满足了系统的平稳控制，由此可见本文最优控制方法很好的达到了系统的要求。