耦合双回输电线故障测距方法研究
1 引言
同塔架设的平行双回线具有出线走廊窄、占地少、建设速度快等优点。在我国220kV系统中双回线占有一定比例，云南昆明电网中双回线约占1/3。双回线的选相和测距有其特殊性，众多学者做了卓有成就的研究［1～4］，文献［3，4］报道了双回线路跨线故障测距的单侧工频量方法，双回线的选相和测距原理和方法已基本形成。
理论和实践表明，利用单侧工频量定位双端电源的长输电线短路点的故障测距算法，当故障位于半线长以远后，其测距精度无法保证。其主要原因为：①过渡电阻；②线路分布电容；③对侧系统运行阻抗变化等。随着电力通信技术的发展，利用两端信息的测距算法相继提出［5～7］，这类测距算法主要有两种，一种是利用近端电压电流和对端电流工频量［5］，另一种是利用两测电压电流工频量［6，7］，其中两侧数据不必采样同步或采样同步化处理［7］的测距算法将更具应用前景。本文研究同塔双回线准确故障测距的两侧工频量方法。
2 双回线波参数及其相序变换
对称耦合双回线路采用下列变换矩阵
（1a）
（1b）
（1c）
其中，式（1b）可将对称双回线去耦，式（1a）可将双回线的Ⅰ回线和Ⅱ回线的正负序上去耦而零序间仍相耦合。由式（1a）和（1b）进行电学量的相序变换记为
col［E（p），p=a，b，c，a′，b′，c′］
col［E（s），s=0，1，2，0′，1′，2′］ （2a）
和
col［E（p），p=a，b，c，a′，b′，c′］
col［E（s），s=T0，T1，T2，F0，F1，F2］ （2b）
其中，abc和a′b′c′分别表示Ⅰ回线和Ⅱ回线的各相，012和0′1′2′分别为Ⅰ回线和Ⅱ回线所对应的零、正、负序，在线路参数上Ⅰ回线和Ⅱ 回线的零序间仍相耦合而正、负序上相互独立。T012和F012分别表示同序量和反序量的零正负序，对称六相的同序、反序各量间相互独立。
设消去避雷线后对称六相两个单回的自、互阻抗和导纳分别为zs,m和ys,m，两个单回之间的互阻抗和导纳分别为z′m和y′s,m，则各序量上传播常数和特征阻抗分别为
γs=［（zs-zm）（ys-ym）］1/2
s=1,2,1′,2′，T1，T2，F1，F2 （3a）
γT0=［（zs+2zm+3z′m）（ys+2ym+3y′m）］1/2 （3b）
γF0=［（zs+2zm-3z′m）（ys+2ym-3y′m）］1/2 （3c）
和 Zcs=［（zs-zm）/（ys-ym）］1/2
s=1,2,1′,2′，T1，T2，F1，F2 （4a）
ZCT0=［（zs+2zm+3z′m）（ys+2ym+3y′m）］1/2 （4b）
ZCF0=［（zs+2zm-3z′m）（ys+2ym-3y′m）］1/2 （4c）
3 反序电流非零的故障测距
先以式（1b）引入正序（T012）和反序（F012）的变换，用以判别故障类型。本文将双回线上可能的120种短路分为反序电流为零和非零两类故障。故障分析和计算表明，反序电流为零的故障为如下同名相跨线故障：①象AA′型故障不但反序电流为零，而且与负荷状态相同，电气上无法区分；②象AA′ -G型、BCB′C′型、ABCA′B′C′和ABCA′B′C′-G故障，单同名相上所挂过渡阻抗等时，反序电流为零。反序电流非零的故障为：①单回上的任意短路；②非同名相跨线故障，如AA′B′-G等；③同名相跨线但同名相上过渡阻抗非对称的跨线故障。利用式（1b）计算T012和F012六序电流，如果
max［｜Is｜，s=F0,F1,F2］≤Iε
则为反序电流为零的同名且过渡阻抗对称的跨线故障，其中，Iε为浮动门限（大电源侧）或固定门限（馈线）。
以下介绍反序电流非零故障测距三种算法，双回线及其故障同、反序分布参数网络如图1，由故障分析知，任何反序电流非零的故障均有F1序分量，下列三种算法均利用F1序分量。
图1 耦合双回线及其同反序网络
Fig.1 Coupled double-circuit line and superimposed
T012 and F012 sequence circuit
算法1
由图1c可建构反序电流非零故障定位函数和定位方程分别为
MF（x）=｜I（s）Mshγsx｜-｜I（s）Nshγs（l-x）｜
s=F1 （5a）
和
MF（x）=0 （5b）
其中，｜＊｜为取模算子。利用MF（x）=0定位AB′故障时，其定位函数曲线如图2所示，其中，为了将诸曲线置同一坐标上，业已将纵轴上的值作线形处理。其余反序电流非零故障的曲线与图2类似。观察式（5）可知，MF（x）函数关于x的非线性较弱，可以证明，对于实际长输电线路MF（x）=0无伪根问题。因为建构测距方程时，对故障点两侧电压取模运算，输入MF（x）=0方程的两侧电流则不必采样同步或采样同步化处理。
图2 MF（x）定位函数曲线
Fig.2 Curve of fault location MF（x）
算法2
将shγsx≈γsx和shγs（l-x）≈γs（l-x）近似关系代入式（5），因为F012序量上Z（F012）M,N的恒为零，所以这种近似处理等价于不考虑线路分布电容，此时MF（x）=0方程简化为测距公式
x=l/（1+｜IM（s）｜/｜IN（s）｜） s=F1 （6）
由故障定位近似公式（6）计算AB′故障时，故障点xf从x=0移至x=l，全线长范围之内的定位绝对误差曲线如图3所示（Δx=x＊f- xf,x＊f为定位结果）。因为式（6）中，IM，N（F1）可以分别表示为I（F1）M=I（F1）f f1（x,p）和 I（F1）N=I（F1）f f2（x,p），其中，F1序上线路参数集合，p=｛γF1，ZCF1,l｝，所以电流比值｜IM（F1）｜/｜IN（F1）｜只是故障距离x和线路参数p的函数，而与故障边界电流无关。
分析和计算表明，式（1b）近似差曲线形状如图3所示，在线路确定的前提下，近似测距公式（6）定位任意反序电流非零故障的误差沿线各点是确定的，而且线路越长，近似公式（6）定位误差幅值越大（图3）。算法2可归纳为：①由式（6）近似计算xf＊′值；②补偿，即以（xf＊′-Δx）作为定位结论。对于xf＊′靠近线路两侧或在0.5l附近的故障以及中等长度线路，亦可不必作补偿。
图3 未考虑横向电容时的定位绝对误差
Fig.3 Error setting in shunt capacitance current of transmission line
算法3
定义线路两侧F1序电流幅值之比为
ki（x）=｜IM（F1）｜/｜IN（F1）=｜shγF1（l-x）｜/
｜shγF1x｜ （7）
正如前述，对于确定的线路，两侧电流F1序分量比值ki（x）仅是故障位置x的函数，与故障边界电流无关。当xf在［0，l］上变化时，ki（x）是单调的，图4仅仅展示了［0.05l,0.1l］区间和［0.2l，l］区间上电流比值ki（x）的变化规律，因为ki（x）与两侧系统阻抗和故障边界电流无关，线路确定之后，ki（x）变化规律便唯一确定，且ki（x）在［0,l］上单调，因此可利用故障后线路两侧F1序电流幅值之比ki的具体量值，在 ki（x）曲线上找到对应的故障位置。对于实际线路，线路极可能不是严格对称的，利用数次短路故障录波数据，便可拟合如图4类似的曲线，做到准确的故障定位。
图4 ki（x）曲线
Fig.4 Curve of ki（x）
4 故障测距数字仿真
略去两侧系统及其线路参数，于xf=0.2l=80.0km处?发?生｛Rf｝=（1，5，2，4，10）Ω的ABA′B′-G跨线故障时，M端a,b 相电压波形如图5所示，两侧之间数据不必同步采样，数据取之故障后第2周波，采样频率600Hz，数字滤波算法为一阶差分与全波傅里叶算法级联的综合滤波算法。为了考察方法对具有非对称同名跨线故障适应性，仅列举算法1（记为AⅠ）和算法2（记为AⅡ）定位具有不对称过滤电阻的同名相跨线故障的部分结果见表1，其过渡电阻如表2。
图5 同名相跨线ABA′B′-G故障时的M端a，b相电压
Fig.5 A and B phase voltage waveform at end M with
the same phase inter-circuit ABA′B′-G fault
表1 具有不对称过渡电阻的同名相跨线故障数字仿真结果
Tab.1 Results of the same phases inter-circuit fault location tested using transient data
[td=2,3]假 设 故 障 [td=3,1]xf=80km [td=3,1]xf=200km [td=3,1]xf=320km [td=3,1]｛Rf｝ [td=3,1]｛Rf｝ [td=3,1]｛Rf｝
[td=1,2]故 障 类 型 [td=3,1]｛Rf｝/Ω
5 反序电流为零的故障测距
前已论述仅当同名相上所挂过渡阻抗相同的同名跨线故障，其反序电流为零，反序电流为零的故障采用变换关系式（1a），即在双回的单回线对应的正序分布参数线路上建构测距算法。这类故障对应的正序网示于图6，可建构主定位函数合定位方程分别为
MP（x）=｜VMchγx-ZCIMIshγx｜-
｜VNchγ（l-x）-ZCINIshγ（l-x）｜ （8a）
和
MP（x）=0 （8b）
其中，已隐去了正序各量标号，同样，由于引入取模运算，两侧数据不必采样同步或采样同步化处理。定位函数MP（x）曲线示于图7，可以证明，对于实际长线路，MP（x）=0 于［0，l］上至多有两个根，从x=0和x=l开始N-R迭代可以收敛到真、伪两个根上，即可方便求得两个根（若存在两根的话）。分析和计算表明，如果MP（x）=0有两根，则真伪两根差别较大。如果出现两根，则用以下介绍的近似定位公式剔除伪根。
图6 故障线路正序网
Fig.6 Positive sequence network
图7 MP（x）曲线
Fig.7 Curve of MP（x）
隐去正序标号，并设M、N两侧在同一测量坐标中，正序分量分别为（VM，IM）exp（jδ）和（VN，IN）， 其中δ为两端各自测量参考系间相角，忽略线路分布电容可推求故障距离为
（9a）
或
（9b）
式中 k1=RLRe（IM）-XLIm（IM）
k2=RLIm（IM）+XLRe（IM）
k3=lRLRe（IN）-lXLIm（IN）
k4=lRLIm（IN）+lXLRe（IN）
RL=Re（ZC）
XL=Im（ZC）
a=k4Re（VM）-k3Im（VM）-lk2Re（VN）+
lk1Im（VN）+l（k2k3-k1k4）
b=-k3Re（VM）-k4Im（VM）-lk1Re（VN）-
lk2Im（VN）+l（k1k3-k2k4）
c=lk1Im（VN）-lk2Re（VM）+k4Re（VN）-
k3Im（VN）
利用上式计算AA′-G故障，当xf从0变化到l时其计算结果的绝对误差曲线如图8所示。
图8 AA′-G故障定位误差曲线
Fig.8 Error curve of AA′-G fault location
分析和计算表明：①式（9）描述的故障定位计算公式，在两侧系统阻抗确定的前提下，线路越长，其定位计算结果的绝对误差Δx曲线幅值越大；②Δx可表示为函数Δx=ψ（x,NP），其中，NP为系统和线路正序参数的集合，即NP=｛γ1，ZC1，l，ZM1，ZN1｝。Δx与短路类型、过渡阻抗大小和性质无关。
至此，对于长线路，以主定位方程MP（x）=0自x=0和x=l开始分别用N-R迭代求解，若有两根则以x（δ）辅助计算并以x（δ）的值剔除 MP（x）=0的伪根保留其真根。将MP（x）=0记为算法1（A1）、x（δ）记为算法2（A2），l=400km某线路故障测距部分暂态仿真结果列于表3。
表3 AA′-G故障定位结果
Tab.3 Results of AA′-G fault location tested using transient data
[td=1,3]假 设 故 障 [td=3,1]xf=80km [td=3,1]xf=200km [td=3,1]xf=320km [td=3,1]｛Rf｝ [td=3,1]｛Rf｝ [td=3,1]｛Rf｝
值得指出，文献［8］所提出的利用“两回电流之差”的定位算法实质就是利用反序电流，显然，对于反序电流为零的跨线故障，文献［8］的测距算法将失效。
6 结论
（1）将双回线上可能的短路分为反序电流为零和非零两类故障。所用线路波参数均为空间模参数，它不同于地模参数，为准确故障定位奠定了基础。考虑并完全克服了线路分布电容对故障测距精度的影响。两侧数据端与端之间不必采样同步或采样同步化处理，不需实时通信。
（2）反序电流非零的故障测距，对于长线路可选择其算法1或3，对于中短线路可选择算法2或算法3。
（3）反序电流为零的故障测距，对于中短线路可直接用公式x（δ）计算故障位置，对于长线路可选用MP（x）=0主定位方程，自两侧用N-R迭代2～5次即可，如果出现两根则以x（δ）近似估计值剔除其伪根。
参考文献
1 索南，葛耀中.利用六序分量复合序网法分析同杆双回线断线故障的新方法.电力系统自动化，1992，16（3）：15～21
2 索南，葛耀中等.同杆双回线的六序选相原理.中国电机工程学报，1991，11（6）：1～9
3 卢继平，叶一麟.同塔架设平行双回线的跨线故障精确测距算法.中国电机工程学报，1992，12（6）：18～24
4 索南，葛耀中.同杆双回线路故障的准确故障定位方法.中国电机工程学报，1992，12（3）：1～9
5 董新洲，葛耀中.一种使用两端电气量的高压输电线路故障测距算法.电力系统自动化，1995，19（8）：47～53
6 Johns A T,Jumali S.Accurate fault location technique for power transmission lines.IEE Proc.,1990，137-cc6
7 Novosel D,Hart DG,et al.Unsynch ronized two-terminal fault location estimation.IEEE Trans.,1996,PWRD-11∶130～137
8 Nagaswa T,et al.Development of a new fault location algorithm for multi- terminal two parallel transimssion lines.IEEE Trans.,1992，PWRD- 7（3）:1516～1532
同塔架设的平行双回线具有出线走廊窄、占地少、建设速度快等优点。在我国220kV系统中双回线占有一定比例，云南昆明电网中双回线约占1/3。双回线的选相和测距有其特殊性，众多学者做了卓有成就的研究［1～4］，文献［3，4］报道了双回线路跨线故障测距的单侧工频量方法，双回线的选相和测距原理和方法已基本形成。
理论和实践表明，利用单侧工频量定位双端电源的长输电线短路点的故障测距算法，当故障位于半线长以远后，其测距精度无法保证。其主要原因为：①过渡电阻；②线路分布电容；③对侧系统运行阻抗变化等。随着电力通信技术的发展，利用两端信息的测距算法相继提出［5～7］，这类测距算法主要有两种，一种是利用近端电压电流和对端电流工频量［5］，另一种是利用两测电压电流工频量［6，7］，其中两侧数据不必采样同步或采样同步化处理［7］的测距算法将更具应用前景。本文研究同塔双回线准确故障测距的两侧工频量方法。
2 双回线波参数及其相序变换
对称耦合双回线路采用下列变换矩阵
（1a） （1b） （1c）其中，式（1b）可将对称双回线去耦，式（1a）可将双回线的Ⅰ回线和Ⅱ回线的正负序上去耦而零序间仍相耦合。由式（1a）和（1b）进行电学量的相序变换记为
col［E（p），p=a，b，c，a′，b′，c′］
col［E（s），s=0，1，2，0′，1′，2′］ （2a）
和
col［E（p），p=a，b，c，a′，b′，c′］
col［E（s），s=T0，T1，T2，F0，F1，F2］ （2b）
其中，abc和a′b′c′分别表示Ⅰ回线和Ⅱ回线的各相，012和0′1′2′分别为Ⅰ回线和Ⅱ回线所对应的零、正、负序，在线路参数上Ⅰ回线和Ⅱ 回线的零序间仍相耦合而正、负序上相互独立。T012和F012分别表示同序量和反序量的零正负序，对称六相的同序、反序各量间相互独立。
设消去避雷线后对称六相两个单回的自、互阻抗和导纳分别为zs,m和ys,m，两个单回之间的互阻抗和导纳分别为z′m和y′s,m，则各序量上传播常数和特征阻抗分别为
γs=［（zs-zm）（ys-ym）］1/2
s=1,2,1′,2′，T1，T2，F1，F2 （3a）
γT0=［（zs+2zm+3z′m）（ys+2ym+3y′m）］1/2 （3b）
γF0=［（zs+2zm-3z′m）（ys+2ym-3y′m）］1/2 （3c）
和 Zcs=［（zs-zm）/（ys-ym）］1/2
s=1,2,1′,2′，T1，T2，F1，F2 （4a）
ZCT0=［（zs+2zm+3z′m）（ys+2ym+3y′m）］1/2 （4b）
ZCF0=［（zs+2zm-3z′m）（ys+2ym-3y′m）］1/2 （4c）
3 反序电流非零的故障测距
先以式（1b）引入正序（T012）和反序（F012）的变换，用以判别故障类型。本文将双回线上可能的120种短路分为反序电流为零和非零两类故障。故障分析和计算表明，反序电流为零的故障为如下同名相跨线故障：①象AA′型故障不但反序电流为零，而且与负荷状态相同，电气上无法区分；②象AA′ -G型、BCB′C′型、ABCA′B′C′和ABCA′B′C′-G故障，单同名相上所挂过渡阻抗等时，反序电流为零。反序电流非零的故障为：①单回上的任意短路；②非同名相跨线故障，如AA′B′-G等；③同名相跨线但同名相上过渡阻抗非对称的跨线故障。利用式（1b）计算T012和F012六序电流，如果
max［｜Is｜，s=F0,F1,F2］≤Iε
则为反序电流为零的同名且过渡阻抗对称的跨线故障，其中，Iε为浮动门限（大电源侧）或固定门限（馈线）。
以下介绍反序电流非零故障测距三种算法，双回线及其故障同、反序分布参数网络如图1，由故障分析知，任何反序电流非零的故障均有F1序分量，下列三种算法均利用F1序分量。
图1 耦合双回线及其同反序网络
Fig.1 Coupled double-circuit line and superimposed
T012 and F012 sequence circuit
算法1
由图1c可建构反序电流非零故障定位函数和定位方程分别为
MF（x）=｜I（s）Mshγsx｜-｜I（s）Nshγs（l-x）｜
s=F1 （5a）
和
MF（x）=0 （5b）
其中，｜＊｜为取模算子。利用MF（x）=0定位AB′故障时，其定位函数曲线如图2所示，其中，为了将诸曲线置同一坐标上，业已将纵轴上的值作线形处理。其余反序电流非零故障的曲线与图2类似。观察式（5）可知，MF（x）函数关于x的非线性较弱，可以证明，对于实际长输电线路MF（x）=0无伪根问题。因为建构测距方程时，对故障点两侧电压取模运算，输入MF（x）=0方程的两侧电流则不必采样同步或采样同步化处理。
图2 MF（x）定位函数曲线
Fig.2 Curve of fault location MF（x）
算法2
将shγsx≈γsx和shγs（l-x）≈γs（l-x）近似关系代入式（5），因为F012序量上Z（F012）M,N的恒为零，所以这种近似处理等价于不考虑线路分布电容，此时MF（x）=0方程简化为测距公式
x=l/（1+｜IM（s）｜/｜IN（s）｜） s=F1 （6）
由故障定位近似公式（6）计算AB′故障时，故障点xf从x=0移至x=l，全线长范围之内的定位绝对误差曲线如图3所示（Δx=x＊f- xf,x＊f为定位结果）。因为式（6）中，IM，N（F1）可以分别表示为I（F1）M=I（F1）f f1（x,p）和 I（F1）N=I（F1）f f2（x,p），其中，F1序上线路参数集合，p=｛γF1，ZCF1,l｝，所以电流比值｜IM（F1）｜/｜IN（F1）｜只是故障距离x和线路参数p的函数，而与故障边界电流无关。
分析和计算表明，式（1b）近似差曲线形状如图3所示，在线路确定的前提下，近似测距公式（6）定位任意反序电流非零故障的误差沿线各点是确定的，而且线路越长，近似公式（6）定位误差幅值越大（图3）。算法2可归纳为：①由式（6）近似计算xf＊′值；②补偿，即以（xf＊′-Δx）作为定位结论。对于xf＊′靠近线路两侧或在0.5l附近的故障以及中等长度线路，亦可不必作补偿。
图3 未考虑横向电容时的定位绝对误差
Fig.3 Error setting in shunt capacitance current of transmission line
算法3
定义线路两侧F1序电流幅值之比为
ki（x）=｜IM（F1）｜/｜IN（F1）=｜shγF1（l-x）｜/
｜shγF1x｜ （7）
正如前述，对于确定的线路，两侧电流F1序分量比值ki（x）仅是故障位置x的函数，与故障边界电流无关。当xf在［0，l］上变化时，ki（x）是单调的，图4仅仅展示了［0.05l,0.1l］区间和［0.2l，l］区间上电流比值ki（x）的变化规律，因为ki（x）与两侧系统阻抗和故障边界电流无关，线路确定之后，ki（x）变化规律便唯一确定，且ki（x）在［0,l］上单调，因此可利用故障后线路两侧F1序电流幅值之比ki的具体量值，在 ki（x）曲线上找到对应的故障位置。对于实际线路，线路极可能不是严格对称的，利用数次短路故障录波数据，便可拟合如图4类似的曲线，做到准确的故障定位。
图4 ki（x）曲线
Fig.4 Curve of ki（x）
4 故障测距数字仿真
略去两侧系统及其线路参数，于xf=0.2l=80.0km处?发?生｛Rf｝=（1，5，2，4，10）Ω的ABA′B′-G跨线故障时，M端a,b 相电压波形如图5所示，两侧之间数据不必同步采样，数据取之故障后第2周波，采样频率600Hz，数字滤波算法为一阶差分与全波傅里叶算法级联的综合滤波算法。为了考察方法对具有非对称同名跨线故障适应性，仅列举算法1（记为AⅠ）和算法2（记为AⅡ）定位具有不对称过滤电阻的同名相跨线故障的部分结果见表1，其过渡电阻如表2。
图5 同名相跨线ABA′B′-G故障时的M端a，b相电压
Fig.5 A and B phase voltage waveform at end M with
the same phase inter-circuit ABA′B′-G fault
表1 具有不对称过渡电阻的同名相跨线故障数字仿真结果
Tab.1 Results of the same phases inter-circuit fault location tested using transient data
[td=2,3]假 设 故 障 [td=3,1]xf=80km [td=3,1]xf=200km [td=3,1]xf=320km [td=3,1]｛Rf｝ [td=3,1]｛Rf｝ [td=3,1]｛Rf｝
| 1# | 2# | 3# | 1# | 2# | 3# | 1# | 2# | 3# | ||
| AA′-G xf＊/km |
AⅠ AⅡ |
80.06 81.29 |
79.96 81.16 |
79.96 81.16 |
199.96 200.00 |
200.01 200.00 |
199.96 200.01 |
319.91 318.71 |
320.00 318.82 |
320.36 318.84 |
| ABA′B′-G xf＊/km |
AⅠ AⅡ |
79.96 80.98 |
80.16 81.32 |
80.06 81.23 |
197.96 200.01 |
199.96 200.00 |
199.96 200.00 |
320.36 318.28 |
319.71 318.52 |
319.96 318.79 |
| ABCA′B′C′-G xf＊/km |
AⅠ AⅡ |
77.96 79.08 |
77.16 77.65 |
80.36 81.52 |
199.96 200.00 |
200.36 200.00 |
200.36 200.01 |
321.26 320.04 |
320.36 319.27 |
319.96 318.76 |
| 1# | 2# | 3# | |
| AA′-G | 1，5，10 | 20，40，50 | 50，60，100 |
| ABA′B′-G | 1，5，2，4，10 | 10，5，5，10，20 | 50，60，60，50，100 |
| ABCA′B′C′-G | 1，5，10，10，5，1，10 | 10，20，30，30，20，10，50 | 50，20，60，60，20，50，100 |
前已论述仅当同名相上所挂过渡阻抗相同的同名跨线故障，其反序电流为零，反序电流为零的故障采用变换关系式（1a），即在双回的单回线对应的正序分布参数线路上建构测距算法。这类故障对应的正序网示于图6，可建构主定位函数合定位方程分别为
MP（x）=｜VMchγx-ZCIMIshγx｜-
｜VNchγ（l-x）-ZCINIshγ（l-x）｜ （8a）
和
MP（x）=0 （8b）
其中，已隐去了正序各量标号，同样，由于引入取模运算，两侧数据不必采样同步或采样同步化处理。定位函数MP（x）曲线示于图7，可以证明，对于实际长线路，MP（x）=0 于［0，l］上至多有两个根，从x=0和x=l开始N-R迭代可以收敛到真、伪两个根上，即可方便求得两个根（若存在两根的话）。分析和计算表明，如果MP（x）=0有两根，则真伪两根差别较大。如果出现两根，则用以下介绍的近似定位公式剔除伪根。
图6 故障线路正序网
Fig.6 Positive sequence network
图7 MP（x）曲线
Fig.7 Curve of MP（x）
隐去正序标号，并设M、N两侧在同一测量坐标中，正序分量分别为（VM，IM）exp（jδ）和（VN，IN）， 其中δ为两端各自测量参考系间相角，忽略线路分布电容可推求故障距离为
（9a）或
（9b）式中 k1=RLRe（IM）-XLIm（IM）
k2=RLIm（IM）+XLRe（IM）
k3=lRLRe（IN）-lXLIm（IN）
k4=lRLIm（IN）+lXLRe（IN）
RL=Re（ZC）
XL=Im（ZC）
a=k4Re（VM）-k3Im（VM）-lk2Re（VN）+
lk1Im（VN）+l（k2k3-k1k4）
b=-k3Re（VM）-k4Im（VM）-lk1Re（VN）-
lk2Im（VN）+l（k1k3-k2k4）
c=lk1Im（VN）-lk2Re（VM）+k4Re（VN）-
k3Im（VN）
利用上式计算AA′-G故障，当xf从0变化到l时其计算结果的绝对误差曲线如图8所示。
图8 AA′-G故障定位误差曲线
Fig.8 Error curve of AA′-G fault location
分析和计算表明：①式（9）描述的故障定位计算公式，在两侧系统阻抗确定的前提下，线路越长，其定位计算结果的绝对误差Δx曲线幅值越大；②Δx可表示为函数Δx=ψ（x,NP），其中，NP为系统和线路正序参数的集合，即NP=｛γ1，ZC1，l，ZM1，ZN1｝。Δx与短路类型、过渡阻抗大小和性质无关。
至此，对于长线路，以主定位方程MP（x）=0自x=0和x=l开始分别用N-R迭代求解，若有两根则以x（δ）辅助计算并以x（δ）的值剔除 MP（x）=0的伪根保留其真根。将MP（x）=0记为算法1（A1）、x（δ）记为算法2（A2），l=400km某线路故障测距部分暂态仿真结果列于表3。
表3 AA′-G故障定位结果
Tab.3 Results of AA′-G fault location tested using transient data
[td=1,3]假 设 故 障 [td=3,1]xf=80km [td=3,1]xf=200km [td=3,1]xf=320km [td=3,1]｛Rf｝ [td=3,1]｛Rf｝ [td=3,1]｛Rf｝
| 1# | 2# | 3# | 1# | 2# | 3# | 1# | 2# | 3# | |
| A1 xf＊/km | 78.91 | 80.37 | 80.72 | 199.68 | 200.24 | 200.25 | 319.86 | 319.86 | 319.44 |
| A2 xf＊/km | 82.24 | 83.30 | 83.35 | 199.27 | 199.55 | 199.51 | 316.89 | 316.86 | 316.67 |
6 结论
（1）将双回线上可能的短路分为反序电流为零和非零两类故障。所用线路波参数均为空间模参数，它不同于地模参数，为准确故障定位奠定了基础。考虑并完全克服了线路分布电容对故障测距精度的影响。两侧数据端与端之间不必采样同步或采样同步化处理，不需实时通信。
（2）反序电流非零的故障测距，对于长线路可选择其算法1或3，对于中短线路可选择算法2或算法3。
（3）反序电流为零的故障测距，对于中短线路可直接用公式x（δ）计算故障位置，对于长线路可选用MP（x）=0主定位方程，自两侧用N-R迭代2～5次即可，如果出现两根则以x（δ）近似估计值剔除其伪根。
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7 Novosel D,Hart DG,et al.Unsynch ronized two-terminal fault location estimation.IEEE Trans.,1996,PWRD-11∶130～137
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